L’Intelligenza Artificiale sorprende la matematica: risolto un enigma che resisteva da quasi ottant’anni

Per quasi ottant’anni è rimasto uno dei problemi più affascinanti della geometria discreta, una sfida che ha impegnato alcune delle menti matematiche più brillanti del Novecento e del nuovo millennio. Oggi, però, un sistema di Intelligenza Artificiale sviluppato da OpenAI avrebbe compiuto quello che fino a poco tempo fa sembrava impensabile: individuare una soluzione originale al celebre “problema della distanza unitaria”, formulato nel 1946 dal matematico ungherese Paul Erdős.

La notizia, riportata dalla prestigiosa rivista Nature, segna un possibile punto di svolta nel rapporto tra ricerca scientifica e Intelligenza Artificiale. Non si tratterebbe semplicemente di un software capace di eseguire calcoli con straordinaria velocità, ma di un sistema che avrebbe elaborato autonomamente un ragionamento matematico in grado di affrontare una questione rimasta aperta per decenni.

Il problema proposto da Erdős appartiene alla geometria combinatoria e riguarda la disposizione di un insieme di punti su un piano. L’obiettivo consiste nel trovare la configurazione che consenta di ottenere il maggior numero possibile di coppie di punti separate da una medesima distanza prefissata, detta appunto “distanza unitaria”. Sebbene la formulazione appaia semplice, la sua soluzione si è rivelata estremamente complessa, tanto da diventare uno dei classici problemi irrisolti della matematica moderna.

Lo stesso Erdős aveva proposto una particolare configurazione basata su una griglia quadrata, ritenendola probabilmente la migliore possibile. Da allora generazioni di matematici hanno tentato di dimostrare o confutare quella intuizione, senza giungere a un risultato definitivo.

Secondo quanto emerso, i ricercatori di OpenAI avrebbero affidato il problema a un proprio sistema di Intelligenza Artificiale mediante un’unica istruzione iniziale. Da quel momento il modello avrebbe sviluppato in autonomia una strategia dimostrativa basata su sofisticati strumenti di algebra e geometria, individuando una soluzione che nessun ricercatore aveva ancora formulato.

L’azienda, almeno per il momento, mantiene il massimo riserbo sui dettagli tecnici dell’esperimento. Non è stato reso noto quale modello sia stato impiegato né è stata pubblicata integralmente la documentazione scientifica, costituita da oltre cento pagine di analisi matematiche.

Ciò che rende la vicenda particolarmente significativa è che il risultato sarebbe già stato sottoposto all’esame di matematici indipendenti, estranei al progetto di OpenAI. Le prime verifiche avrebbero confermato la correttezza dell’impostazione teorica, suscitando notevole entusiasmo nella comunità scientifica.

Alcuni studiosi hanno parlato apertamente di un momento storico. Daniel Litt, tra i ricercatori coinvolti nella valutazione, ha osservato che si tratta della prima dimostrazione prodotta autonomamente da un sistema di Intelligenza Artificiale che possiede un reale valore matematico indipendente. Un’affermazione che lascia intuire come il dibattito non riguardi più soltanto la velocità di elaborazione delle macchine, ma la loro crescente capacità di contribuire direttamente alla produzione della conoscenza.

Anche Mark Sellke, ricercatore di OpenAI, ha definito il risultato un progresso sorprendente, sottolineando come i miglioramenti ottenuti negli ultimi mesi siano stati molto più rapidi di quanto la stessa comunità scientifica avesse previsto.

Naturalmente è ancora prematuro parlare di una rivoluzione definitiva. Ogni nuova dimostrazione matematica richiede un lungo processo di verifica, revisione e consolidamento da parte della comunità accademica internazionale. Solo dopo un esame approfondito si potrà stabilire se la soluzione proposta entrerà stabilmente nella letteratura matematica.

Tuttavia, indipendentemente dall’esito finale, questa vicenda apre interrogativi destinati ad accompagnare la ricerca dei prossimi anni. Se un sistema di Intelligenza Artificiale è in grado di individuare dimostrazioni originali per problemi che hanno impegnato matematici per generazioni, quale potrà essere il suo contributo nella fisica teorica, nella chimica, nella medicina o nell’ingegneria?

Fino a pochi anni fa l’Intelligenza Artificiale era considerata soprattutto uno strumento per automatizzare attività ripetitive o analizzare grandi quantità di dati. Oggi sembra avvicinarsi sempre più a una nuova frontiera: quella della scoperta scientifica.

Ciò non significa che i matematici diventeranno superflui. Al contrario, il loro ruolo potrebbe diventare ancora più importante. Saranno infatti gli studiosi a formulare le grandi domande, a verificare la validità delle dimostrazioni, a interpretarne il significato teorico e ad aprire nuovi orizzonti di ricerca. L’Intelligenza Artificiale potrebbe trasformarsi nel più potente collaboratore mai avuto dalla comunità scientifica, senza sostituire la creatività e l’intuizione umana.

La vera novità, forse, non consiste soltanto nell’aver risolto un problema rimasto aperto per quasi ottant’anni. La novità è che, per la prima volta, una macchina sembra aver dimostrato di poter partecipare attivamente al processo creativo della matematica. Se questa capacità sarà confermata da ulteriori risultati, potremmo trovarci di fronte all’inizio di una nuova epoca della ricerca scientifica, nella quale l’intelligenza umana e quella artificiale non saranno più viste come concorrenti, ma come partner nello sviluppo della conoscenza.

Volentieri. Credo che per i lettori della tua rivista sarebbe addirittura la parte più interessante dell’articolo. Molti leggono che “l’IA ha risolto un problema matematico di 80 anni”, ma pochissimi comprendono realmente quale fosse il problema e perché fosse così difficile. Ecco una lezione divulgativa, rigorosa ma accessibile anche a chi non possiede una formazione matematica.

Capire il “problema della distanza unitaria”: una lezione di geometria che racconta come nasce la matematica moderna

Per comprendere perché il risultato attribuito all’Intelligenza Artificiale abbia suscitato tanto entusiasmo nella comunità scientifica bisogna fare un passo indietro e capire, innanzitutto, quale fosse il problema posto da Paul Erdős nel 1946.

A prima vista può sembrare quasi un gioco da tavolo. In realtà è uno dei problemi più profondi della geometria combinatoria moderna.

Immaginiamo di avere un grande foglio bianco.

Su questo foglio possiamo disegnare quanti punti vogliamo.

Ora imponiamo una sola regola.

Due punti vengono considerati “speciali” se la loro distanza è esattamente uguale a uno. Non poco meno, non poco più: esattamente uno.

La domanda diventa allora sorprendentemente semplice da formulare:

Come dobbiamo disporre i punti affinché il numero di coppie distanti esattamente una unità sia il più grande possibile?

Sembra un problema quasi banale.

In realtà è terribilmente difficile.

Per capire il motivo facciamo un piccolo esempio.

Se disegniamo soltanto due punti, ottenere distanza uno è facilissimo.

Con tre punti possiamo costruire un triangolo equilatero, nel quale ogni lato misura proprio uno. In questo caso ogni punto è collegato agli altri due mediante una distanza unitaria.

Ma cosa succede quando i punti diventano cento?

O mille?

O un milione?

È qui che nasce la vera sfida.

Ogni nuovo punto che aggiungiamo modifica l’intero equilibrio della figura. Se spostiamo leggermente un punto per ottenere una nuova coppia alla distanza desiderata, potremmo distruggere decine di altre coppie già esistenti.

Il problema diventa quindi una gigantesca ricerca dell’equilibrio perfetto.

È un po’ come organizzare una festa nella quale ogni invitato deve sedersi esattamente a un metro da quante più persone possibile.

Spostando una sola sedia cambiano automaticamente le distanze con tutti gli altri invitati.

Dopo pochi spostamenti la situazione diventa praticamente impossibile da controllare a mente.

Ecco perché questo problema ha impegnato matematici per quasi ottant’anni.

L’intuizione di Paul Erdős

Paul Erdős fu uno dei più grandi matematici del Novecento.

Non lasciò soltanto migliaia di articoli scientifici; pose anche centinaia di domande che hanno guidato la ricerca matematica per decenni.

Per il problema della distanza unitaria immaginò una disposizione dei punti organizzata secondo una griglia quadrata.

Pensiamo al reticolato di un foglio a quadretti.

Ogni punto occupa un incrocio della griglia.

Questa disposizione produce moltissime coppie di punti distanti esattamente una unità.

Era davvero la migliore possibile?

Nessuno riuscì mai a dimostrarlo.

Ma nessuno riuscì nemmeno a trovare una configurazione significativamente migliore.

Da quel momento il problema divenne una delle grandi sfide della geometria discreta.

Perché il problema è così difficile?

Molti pensano che basti usare un computer molto potente.

In realtà non è così.

Il numero delle possibili configurazioni cresce in modo vertiginoso.

Con dieci punti esistono già miliardi di disposizioni differenti.

Con cento punti il numero diventa così enorme da superare qualunque possibilità di esplorazione completa, anche utilizzando i supercomputer più avanzati.

È il classico fenomeno della cosiddetta “esplosione combinatoria”.

Ogni nuovo punto moltiplica le possibilità.

Non le aumenta.

Le moltiplica.

Questo significa che cercare tutte le configurazioni una per una è praticamente impossibile.

Serve un’idea matematica.

Serve una dimostrazione.

Serve intuizione.

Geometria e algebra: due linguaggi che si incontrano

Qui entra in gioco uno degli aspetti più eleganti della matematica moderna.

Noi immaginiamo dei punti disegnati su un foglio.

Il matematico, invece, vede numeri.

Ogni punto possiede infatti due coordinate.

Per esempio

(2,5)

oppure

(7,-3).

La distanza fra due punti può essere calcolata con una formula che deriva direttamente dal teorema di Pitagora.

In questo modo un problema geometrico si trasforma improvvisamente in un problema algebrico.

Non bisogna più spostare punti.

Bisogna trovare numeri che soddisfino contemporaneamente moltissime equazioni.

È proprio questo passaggio che rende il problema tanto affascinante.

La geometria diventa algebra.

L’algebra diventa teoria dei numeri.

La teoria dei numeri incontra la combinatoria.

Interi rami della matematica finiscono per collaborare nella ricerca di una soluzione.

Dove si applicano problemi di questo tipo?

Potrebbe sembrare una curiosità teorica.

In realtà problemi analoghi sono presenti ovunque.

Le reti di telecomunicazione devono disporre antenne in modo da massimizzare le connessioni evitando interferenze.

I satelliti vengono collocati seguendo criteri geometrici estremamente simili.

Le reti neurali artificiali utilizzano strutture matematiche che richiedono continui problemi di ottimizzazione.

La progettazione dei microprocessori consiste spesso nel trovare la migliore disposizione possibile di milioni di componenti all’interno di uno spazio limitato.

Persino la disposizione degli atomi nei cristalli segue principi geometrici che ricordano problemi di questo genere.

Dietro una domanda apparentemente astratta si nasconde quindi un enorme patrimonio di applicazioni pratiche.

Che cosa avrebbe fatto l’Intelligenza Artificiale?

Da quanto finora reso noto, il sistema di OpenAI non si sarebbe limitato a provare milioni di configurazioni.

Avrebbe invece costruito un vero percorso matematico.

In altre parole avrebbe individuato una nuova strada teorica per affrontare il problema.

È questa la parte che ha impressionato i matematici.

Un computer che esegue miliardi di calcoli è ormai una realtà consolidata.

Un sistema che individua autonomamente una dimostrazione elegante è qualcosa di profondamente diverso.

Significa che non sta semplicemente calcolando.

Sta esplorando relazioni matematiche.

Sta costruendo collegamenti.

Sta proponendo idee.

Naturalmente saranno gli studiosi a verificarne la correttezza definitiva, ma il semplice fatto che una macchina possa contribuire alla costruzione di una dimostrazione rappresenta uno dei cambiamenti più importanti nella storia recente della matematica.

Forse il risultato più significativo non consiste soltanto nell’aver affrontato un problema rimasto aperto per quasi ottant’anni. Consiste nell’aver mostrato che l’Intelligenza Artificiale può diventare uno strumento capace di affiancare il matematico non solo nei calcoli, ma anche nella ricerca di nuove intuizioni. Se questa prospettiva sarà confermata, potremmo assistere alla nascita di una nuova stagione della ricerca scientifica, nella quale l’intelligenza umana continuerà a formulare le grandi domande e quella artificiale contribuirà ad aprire percorsi che, fino a ieri, sembravano irraggiungibili.

Per correttezza neo confronti dei nostri lettori, informiamo che la seconda parte di questo articolo è stata realizzata con l’ausilio dell’Intelligenza Artificiale